勾股定理的证明方法,勾股定理的证明方法简单

本篇文章给大家谈谈勾股定理的证明方法，以及勾股定理的证明方法简单对应的知识点，希望对各位有所帮助，不要忘了收藏本站喔。

文章阅读目录一览：

• 1、勾股定理的最简单的证明方法是什么？
• 2、勾股定理16种证明方法
• 3、勾股定理的证明方法是？

勾股定理的最简单的证明方法是什么？

简单的勾股定理的证明方法如下：

拓展资料：

勾股定理的使用方法：

1、确保三角形是直角三角形。 勾股定理只适用于直角三角形中，所以，在应用定理之前，你需要先确定三角形是否是直角三角形，这一点非常重要。幸好，区分直接三角形和别的三角形的方法只有一个，那就是看一个三角形中是否有一个90度的角。

2、确定变量a，b，c对应的三角形的边。在勾股定理中，a，b表示直角三角形的两条直角边，而c用来表示斜边，即直角对应的那条最长的边。所以，先给两条直角边分别标注上a，b（具体的对应关系没有要求），而斜边标注上c。

3、确定你所要求的边。使用勾股定理可以求出直角三角形的任意一条边的长度，但前提是知道另外两条边的长度。先确定哪一条边的长度是未知的——a，b或者c。

4、代入。将两条已知边的长度带入到公式a2 + b2 = c2中，其中a和b对应的是两直角边的长度，而c代表斜边长度。在上面的例子中，我们知道一条直角边和斜边的长度（3和5），然后将3和5代入到公式中，有32 + b2 = 2。

5、计算平方。首先，计算两条已知边长度的平方值。或者，你也可以先不计算出来，然后保留平方，带到式子中直接计算平方和。在上述例子中，3和5的平方分别是9和25，所以方程可以改写为9 + b2 = 25。

6、将未知变量移到等号一边。如果有必要的话，运用基本的代数操作，将未知变量移动到等号一侧，而将已知变量移动到等号的另一侧。如果你要求的是斜边长，那么就不需要再移动变量了。在上述例子中，方程式是9 + b2 = 25。两边同时减去9，等式变为b2= 16。

7、求开方。现在等式两边一边是数字，另一边是变量，然后同时求两边的平方根。在上述例子中b2 = 16，两边同时求平方根，有b = 4。因此，未知边的长度就是4。

参考资料来源：百度百科-勾股定理

勾股定理16种证明方法

勾股定理16种证明方法

勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方,即在以a、b为直角边，c为斜边的三角形中有a^2+b^2=c^2。

方法

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证法一（邹元治证明）：

以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的三角形，按下图所示相拼，使A、E、B三点共线，B、F、C 三点共线，C、G、D三点共线。

∵Rt△HAE≌Rt△EBF

∴∠AHE=∠BEF

∵∠AHE+∠AEH=90°

∴∠BEF+∠AEH=90°

∵A、E、B共线

∴∠HEF=90°，四边形EFGH为正方形

由于上图中的四个直角三角形全等，易得四边形ABCD为正方形

∴正方形ABCD的面积=四个直角三角形的面积+正方形EFGH的面积

∴(a+b)^2=4•（1/2）•ab+c^2，整理得a^2+b^2=c^2

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证法二（课本的证明）：

如上图所示两个边长为a+b的正方形面积相等，

所以a^2+b^2+4•（1/2）•ab=c^2+4•（1/2）•ab，故a^2+b^2=c^2。

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证法三（赵爽弦图证明）：

以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的三角形，按下图所示相拼。

易得四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形

∴正方形ABCD的面积=四个直角三角形的面积+正方形EFGH的面积

∴c^2=4•（1/2）•ab+(b-a)^2 ，整理得a^2+b^2=c^2

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证法四（总统证明）：

如下图所示。

易得△CDE为等腰直角三角形

∴梯形ABCD的面积=两个直角三角形的面积+一个等腰三角形的面积

∴1/2•（a+b）•（a+b）=2•（1/2）•ab+（1/2）•c^2，整理得a^2+b^2=c^2

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证法五（梅文鼎证明）：

以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的三角形，按下图所示相拼，使DEF在同一直线上，过C点作CI垂直于DF,交DF于I点。

易得四边形ABEG、四边形CBDI、四边形FGHI都为正方形。

∴多边形EGHCB的面积=正方形ABEG的面积-两个直角三角形的面积

且多边形EGHCB的面积=正方形CBDI的面积+正方形FGHI的面积-两个直角三角形的面积

∴正方形ABEG的面积=正方形CBDI的面积+正方形FGHI的面积

∴c²=a²+b²

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证法六（项明达证明）：

以a、b为直角边，以c为斜边做两个全等的三角形，做一个边长为c的正方形，按下图所示相拼，使E、A、C在同一条直线上。

过Q点作QP⊥AC，交AC于P点

分别过F、B作QP的垂线段，交点分别为M、N

易得四边形ABQF为正方形

利用全等三角形的判定定理角角边（AAS）可得

△AEF≌△QMF≌△BNQ，此时问题转化为梅文鼎证明。

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证法七（欧几里得证明）：

在直角边为a、b，斜边为c的直角三角形中，分别以a、b、c为边作正方形，如下图所示。连接FB和CD，过C点作CN⊥DE交DE于E点，交AB于M点。

∵AF=AC，AB=AD，∠FAB=∠CAD，∴△FAB≌△CAD（SAS）

而△FAB的面积=△CAD的面积=（½）•ac sin（90°+∠CAB）=（½）a²

∵△CAD与矩形AMND等底等高

∴矩形AMND的面积为△CAD面积的两倍，即a²

同理可得矩形BMNE的面积为b²

∵正方形ADEB的面积=矩形AMND的面积+矩形BMNE的面积

∴c²=a²+b²

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证法八（相似三角形性质证明）

如下图所示，在直角三角形ABC中，AC=b，BC=a，AB=c,∠ACB=90°，过C点作CD垂直于AB，交AB于D点。

∵∠BDC=∠BCA=90°，∠B=∠B

∴△BDC∽△BCA

∴BD∶BC=BC∶BA

∴BC²=BD•BA

同理可得AC²=AD•AB

∴BC²+AC²=BD•BA+AD•AB=(BD+AD)•AB=AB²,即a²+b²=c²

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证法九（杨作玫证明）：

做两个全等的直角三角形，设它们的两直角边分别为a、b（ba）斜边长为c，再做一个边长为c的正方形，按下图所示相拼。过A点作AG⊥AC，交DF于G点，AG交DE于H点。过B作BI⊥AG，垂足为I点。过E点作EJ与CB的延长线垂直，垂足为J点，EJ交AG于K点,交DB于L点。

∵∠BAE=90°∠GAC=90°∴∠EAK=∠BAC

∵GA⊥AC,BC⊥AC

∴GA∥BC

∵EJ⊥BC

∴EJ⊥GA

∴∠EKA=∠C=90°而AE=AB=c

∴△EAK≌△BAC（AAS）

∴EK=a，KA=b

由作法易得四边形BCAI为矩形

∴AI=a,KI=b-a

∵△BAC≌△EDF

∴△EAK≌△EDF

∴∠FED=∠KEA

∴∠FEK=90°

∴四边形EFGK为正方形，同时四边形DGIB为直角梯形

用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为

c²=S1+S2+S3+S4+S5 ①

∵S8+S3+S4=½[b+(b-a)]•[a+(b-a)]

=b²-½ab ，S5=S8+S9

∴S3+S4=b²-½ab-S8=b²-S1-S8②

把②代入①得

c²=S1+S2+b²-S1-S8+S8+S9

=b²+S2+S9

=b²+a²

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证法十（李锐证明）：

设直角三角形两直角边长分别为a、b（ba）,斜边长为c。做三个边长分别为a、b、c的正方形，按下图相拼，使AEG三点共线，过Q点作GM⊥AG,交点为M,用数字表示面积的编号。

∵∠TBE=∠ABH=90°

∴∠TBH=∠EBA

∵∠T=∠BEA=90°，BT=BE=b

∴△HBT≌△ABE（ASA）

∴HT=AE=a，GH=GT-HT=b-a

∵∠GHF+∠BHT=90°，∠TBH+∠BHT=90°

∴∠GHF=∠TBH=∠DBC

∵BD=BE-ED=b-a，

∠G=∠BDC=90°

∴△GHF≌△DBC（ASA），S7=S2

由∠BAQ=∠BEA=90°,可知∠ABE=∠QAM

∵AB=AQ=c

∴△ABE≌△QAM（AAS）

∴△QAM≌△HBT，S5=S8

同时有AR=AE=QM=a，且∠QFM与∠ACR分别为∠GHF与∠DBC的余角

∴∠QFM=∠ACR

∵∠R=∠FMQ=90°

∴△FMQ≌△CRA（AAS），S4=S6

∵c²=S1+S2+S3+S4+S5,

a²=S1+S6,b²=S3+S7+S8

S7=S2,S8=S5,S4=S6

∴a²+b²=S1+S6+S3+S7+S8=S1+S4+S3+S2+S5=c²

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证法十一（利用切割线定理证明）：

在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=b，AB=c，BC=a，以B为圆心，a为半径画圆，AB交圆与D点，AB的延长线交圆于E点。

根据切割线定理（从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是割线和这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项）可得：AC²=AD•AE

∴b²=(c-a)(c+a)=c²-a²

∴a²+b²=c²

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证法十二（利用多列米定理证明）：

在直角三角形ABC中，设BC=a，AC=b，斜边AB=c，过A点作AD∥CB,过B点作BD∥CA,则四边形ACBD为矩形，矩形ACBD内接于唯一的一个圆。

根据多米列定理（圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和）可得：

AB•DC=DB•AC+AD•CB

∵AB=DC=c,DB=AC=b，AD=CB=a

∴c²=b²+a²

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证法十三（作直角三角形的内切圆证明）：

在Rt△ABC中，设直角边BC=a，AC=b，斜边AB=c。作Rt△ABC的内切圆⊙O，切点分别为D、E、F，如下图所示，设圆O的半径为r。

∵AB=AF＋BF,CB=BD＋CD,AC=AE＋CE

∴AC+CB-AB=(AE+CE)+(BD+CD)-(AF+BF)=CE+CD=2r,即a+b-c=2r

∴a+b=2r+c

(a+b)²=(2r+c)²

a²+b²+2ab=4(r²+rc)+c²

∵S△ABC=½ab

∴4S△ABC=2ab

∵S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=½cr+½ar+½br=½(a+b+c)r=½(2r+c+c)r=r²+rc

∴4(r²+rc)=2ab

∴a²+b²+2ab=2ab+c²

∴a²+b²=c²

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证法十四（利用反证法证明）：

在Rt△ABC中，设直角边BC=a，AC=b，斜边AB=c。过C点作CD⊥AB，垂足为D点，如下图所示。

假设a²+b²≠c²，即AC²+BC²≠AB²

则由AB²=AB·AB=AB·(AD+BD)=AB·AD+AB·BD知

AC²≠AB·AD或BC²≠AB·BD

即AD∶AC≠AC∶AB或BD∶BC≠BC∶AB

在△ADC和△ACB中

∵∠A=∠A

∴若AD∶AC≠AC∶AB，则∠ADC≠∠ACB

在△CBD和△ACB中

∵∠B=∠B

∴若BD∶BC≠BC∶AB，则∠CDB≠∠ACB

∵∠ACB=90°

∴∠ADC≠90°，∠CDB≠90°

这与CD⊥AB矛盾，所以假设不成立

∴a²+b²=c²

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证法十五（辛卜松证明）：

直角三角形以a、b为直角边，以c为斜边。作边长为a+b的正方形。

把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为

(a+b)²=a²+b²+2ab

把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为

(a+b)²=4x½ab+c²=2ab+c²

∴a²+b²+2ab=2ab+c²

∴a²+b²=c²

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证法十六（陈杰证明）：

设直角三角形两直角边的长分别为a、b（ba），斜边的长为c。做两个边长分别为a、b的正方形，把它们拼成如图所示形状，使E、H、M三点在一条直线上。 用数字表示面积的编号，如下图所示。

在EH = b上截取ED = a，连结DA、DC，则 AD = c

∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a

∴ DM = EM―ED = (b+a)―a = b

又∵ ∠CMD = 90°，CM = a， ∠AED = 90°， AE = b

∴ RtΔAED ≌ RtΔDMC(SAS)

∴ ∠EAD = ∠MDC，DC = AD = c

∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180°， ∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90°

∴ ∠ADC = 90°

∴ 作AB∥DC，CB∥DA，则四边形ABCD是一个边长为c的正方形

∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90°

∴ ∠BAF=∠DAE。连结FB，在ΔABF和ΔADE中

∵ AB =AD = c，AE = AF = b，∠BAF=∠DAE

∴ ΔABF ≌ ΔADE(SAS)

∴ ∠AFB = ∠AED = 90°，BF = DE = a

∴ 点B、F、G、H在一条直线上

在RtΔABF和RtΔBCG中，

∵ AB = BC = c，BF = CG = a，

∴ RtΔABF ≌ RtΔBCG (HL)

∵c²=S₂+S₃+S₄+S₅， b²=S₁+S₂+S₆， a²=S₃+S₇，S₁=S₅=S₄=S₆+S₇，

∴a²+b²=S₃+S₇+S₁+S₂+S₆=S₂+S₃+S₁+(S₆+S₇)=S₂+S₃+S₄+S₅ =c²

∴ a²+b²=c²

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勾股定理的证明方法是？

勾股定理的证明方法如下

设△ABC为一直角三角形，其直角为∠CAB。其边为BC、AB和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。

画出过点A之BD、CE的平行线，分别垂直BC和DE于K、L。

分别连接CF、AD，形成△BCF、△BDA。

∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A和G共线，同理可证B、A和H共线。

因为∠CBD和∠FBA都是直角，所以∠ABD=∠FBC。

因为AB=FB，BD=BC，所以△ABD≌△FBC。

因为A与K和L在同一直线上，所以四边形BDLK=2△ABD。

因为C、A和G在同一直线上，所以正方形BAGF=2△FBC。

因此四边形BDLK=BAGF=AB²。

同理可证，四边形CKLE=ACIH=AC²。

把这两个结果相加，AB²+AC²=BD×BK+KL×KC

由于BD=KL，BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC

由于CBDE是个正方形，因此AB²+AC²=BC²，即a²+b²=c²。

扩展资料：

勾股定理的意义

1、勾股定理的证明是论证几何的发端。

2、勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，即它是第一个把几何与代数联系起来的定理。

3、勾股定理导致了无理数的发现，引起第一次数学危机，大大加深了人们对数的理解。

4、勾股定理是历史上第—个给出了完全解答的不定方程，它引出了费马大定理。

关于勾股定理的证明方法和勾股定理的证明方法简单的介绍到此就结束了，不知道你从中找到你需要的信息了吗 ？如果你还想了解更多这方面的信息，记得收藏关注本站。